线性系统的能控性和能观测性
本文为对线性系统的能控性和能观测性的知识点总结 ## 线性系统的能控性和能观测性
1、能控性和能观测性的定义
直观上的理解：
能控性：指系统内的所有状态是否可以由输入影响
能观测性：指系统内的所有状态是否可以由输出反映
1.1 mm
2、线性连续系统的能控性判据
2.1、线性连续时不变系统的能控性判据
(1)秩判据（*）
a、秩判据
对于线性定常系统 \[ \begin{aligned}\dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t),X(0)=X_0,t\geq0\end{aligned} \] 其完全能控的充分必要条件是 \[ \begin{aligned}rankQ_c&=rank[B \ AB \ \cdots \ A^{n-1}B]\\&=n\end{aligned} \] 其中\(n\)是矩阵\(A\)的维数，\(Q_c\)是系统的能控性判别阵
b、改进的能控性秩判据
（适用于多输入系统，可减少计算）
对于线性定常系统:
\(\dot{x}\)是\(n\)维状态向量，\(u\)是\(p\)维输入向量 \[ \begin{aligned}\dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t),X(0)=X_0,t\geq0\end{aligned} \] 其完全能控的充分必要条件是: \[ rankQ_{n-r+1}=rank[B \ AB \ \cdots \ A^{n-r}B]=n\\ r=rankB,r\leq p\\ \]
(2)PHB秩判据（*）
对于线性定常系统:
\(\dot{x}\)是\(n\)维状态向量，\(u\)是\(p\)维输入向量 \[ \begin{aligned}\dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t),X(0)=X_0,t\geq0\end{aligned} \] 其完全能控的充分必要条件是: \[ \lambda_{i}(i=1,2,\ldots,n)\\rank[\lambda_{i}I-A \ \ \ B]=n,i=1,\ldots,n \] 其中\(\lambda_i\)代表矩阵\(A\)的所有特征值
或等价地表示为： \[ \\rank[SI-A \ \ \ B]=n,\forall s\in C \] 其中\(C\)代表复数集
(3)对角线规范判据（*）
对于线性定常系统:
\(\dot{x}\)是\(n\)维状态向量，\(u\)是\(p\)维输入向量 \[ \begin{aligned}\dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t),X(0)=X_0,t\geq0\end{aligned} \] 当矩阵\(A\)的特征值\(\lambda_1、\lambda_2、\dots 、\lambda_n\)两两相异时，
其完全能控的充分必要条件是:
该系统的对角规范型中\(\overline{B}\)不包含元素为零的行 \[ \dot{x}= \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_{n} \end{bmatrix}\overline{x} + \overline{B}{u} \]
(4)约当规范型判据
对于线性定常系统:
\(\dot{x}\)是\(n\)维状态向量，\(u\)是\(p\)维输入向量 \[ \begin{aligned}\dot{x}(t)&=Ax(t)+Bu(t),X(0)=X_0,t\geq0\end{aligned} \] 当矩阵\(A\)有重特征值时，
其完全能控的充分必要条件是:
由该系统推导出的约当规范型\(\dot{\hat{x}}=\dot{A}\hat{x(t)}+\hat{B}u\)中，\(\hat{B}\)中与同一特征值的各约当小块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是行线性无关的。
2.2 能控性指数
4、对偶性
6、连续时间线性时不变系统的结构分解
(1)结构分解解释：
将连续时间线性时不变系统按能控性分解，可分解为: \[ \left\{\begin{array}{ccc} & x_e \ (能控子系统)\\ & x_{\overline{e}} \ (不能控子系统) \end{array} \right. \] 将连续时间线性时不变系统按能观测性分解，可分解为: \[ \left\{\begin{array}{ccc} & x_o \ (能观测子系统)\\ & x_{\overline{o}} \ (不能观测子系统) \end{array} \right. \] 将连续时间线性时不变系统按能控性、能观测性分解，可分解为: $$ { \[\begin{array}{ccc} & x_c \ (能控子系统) \{\begin{array}{ccc} & x_{co} \ (能控能观测子系统)\\ & x_{c \overline{o}} \ (能控不能观测子系统) \end{array}\\ & x_{\overline{c}} \ (不能控子系统) \{\begin{array}{ccc} & x_{\overline{c}o} \ (不能控能观测系统)\\ & x_{\overline{c} \overline{o}} \ (不能控不能观测子系统) \end{array} \end{array}\]. $$
(2)线性定常系统按能控性的结构分解（*）
1)系统按能控性的结构分解的规范表达式
对于不完全能控系统，\(rank(Q_k)=k>n\)，引入线性非奇异变化\(\overline{x}=Px\)，系统按能控性的结构分解的规范表达式为(将\(\overline{x}=Px\)代入原状态空间方程化简)： $$ { \[\begin{array}{ccc} \begin{bmatrix} \dot{\overline{x_c}} \\ \dot{\overline{x_{\overline{c}}}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overline{A_c} & \overline{A_{12}} \\ 0 & \overline{A_{\overline{c}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\overline{x_c}} \\ {\overline{x_{\overline{c}}}} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} {\overline{B_c}} \\ 0 \end{bmatrix} u\\ y=\begin{bmatrix} \overline{C_C} & \overline{C_{\overline{c}}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\overline{x_c}} \\ {\overline{x_{\overline{c}}}} \end{bmatrix} \end{array}\]. $$ 其中，\(\overline{x_c}\)是\(k\)维能控分状态，\(\overline{x_{\overline{c}}}\)是\((n-k)\)维不能控分状态
有： $$ \[\begin{equation} \begin{split} \begin{bmatrix} {\overline{x}_c} \\ {\overline{x}_{\overline{c}}} \end{bmatrix} = \overline{x}=Px\\ \overline{A}=PAP^{-1}= \begin{bmatrix} \overline{A}_c & \overline{A}_{12} \\ 0 & \overline{A}_{\overline{c}} \end{bmatrix} \\ \overline{B}=PB=\begin{bmatrix} {\overline{B}_c} \\ 0 \end{bmatrix} \\ \overline{C}=CP^{-1}=\begin{bmatrix} {\overline{C}_c} & {\overline{C}_\overline{c}} \end{bmatrix} \end{split} \end{equation}\] $$
非奇异变换矩阵\(P^{-1}\)的构造方法
从能控性判别阵\(Q_c\)里任意选取\(k\)个线性无关的列向量，记为\(q_1、q_2、······,q_k\)
从n维实数空间中任意选取尽可能简单的\((n-k)\)个列向量，记为\(q_{k+1}、q_{k+2}、······,q_n\)，使它们和\(q_1、q_2、······,q_k\)线性无关
\[ P^{-1} = \begin{bmatrix} q_1 & q_2 & ······ & q_k & q_{k+1} & q_{k+2} & ······ & q_n \end{bmatrix} \]
2)系统结构能控性分解特点
a、\(n\)维不完全能控系统与其能控子系统具有相同的传递函数矩阵 \[ \begin{equation} \begin{split} G(s) & = C(sI-A)^{-1}B\\ &=\overline{C}(sI-\overline{A})^{-1}\overline{B}\\ &=\overline{C}_c(sI_{k}-\overline{A}_c)^{-1}\overline{B}_c \end{split} \end{equation} \] 且有： \[ \begin{equation} \begin{split} rank\begin{bmatrix} B & AB &···& A^{n-1}B \end{bmatrix} &= rank\begin{bmatrix} \overline{B}_c & \overline{A}_c\overline{B}_c &···& \overline{A}_{c}^{n-1}\overline{B}_c \end{bmatrix}\\ &=k \end{split} \end{equation} \] 当从传递特性来分析系统使，可以等价地分析其能控子系统。
b、由于\(\overline{A}_\overline{c}\)分别会影响能控子系统状态响应\(x_c(t)\)，\(\overline{C}_\overline{c}\)会影响系统输出响应\(y(t)\)，故要求\(\overline{A}_\overline{c}\)的所有特征值都必须是稳定的（即所有特征值都具有负实部）
c、系统的特征多项式分解 \[ \begin{equation} \begin{split} det(sI-A) &= det(sI-\overline{A})\\ &= det\begin{bmatrix} sI-\overline{A}_c & -\overline{A}_{12}\\ 0 & sI-\overline{A}_{\overline{c}} \end{bmatrix}\\ &=det(sI-\overline{A}_c)·det(sI-\overline{A}_{\overline{c}}) \end{split} \end{equation} \] 将\(det(sI-\overline{A}_c)\)称为能控振型、\(det(sI-\overline{A}_{\overline{c}})\)称为不能控振型；外部输入\(u\)只能改变能控振型。
d、构造\(P^{-1}\)矩阵时，列向量选取不唯一，故能控性分解结果不唯一